İş, Güç ve Enerji
* “ Bir cisme uygulanan kuvvet cismi hareket ettirmese de iş yapılır.” Kavram hatasının verilmemesine ve düzeltilmesine dikkat edilecek.
Tam bir tanımının yapılması güç olduğu halde, enerjiyi hepimiz biliriz. Yaşamımız ve çalışmamız için gerekli enrejiyi yediğimiz besinlerden alırız. Ayrıca yemek pişirmek, evlerimizi ısıtmak, arabalarımızı hareket ettirmek için gerekli odun, doğal gaz, petrol, benzin gibi yakıtlara gerek vardır. Binlerce yıl önce insanoğlu yakıtların yanması ile oluşan enerjiyi ısıtma ve el sanatlarında kullanmaya başlamıştı. Son zamanlara değin ağır işlerin tümü ya insan ya da hayvanların kas gücü ile yapılıyordu. Sanayi devriminden bu yana kas gücü yerine daha başka kaynaklardan elde edilen enerji kullanılıyor. Şimdi tarım makinalarımızı işleten, fabrikalarımızı çalıştıran, trenlerimizi, otomobillerimizi ve gemilerimizi yürüten enerjinin çoğunu yakıtların yanmasından elde ediyoruz. Artık yakıtlardan elde edilen enerji içinde bulunduğumuz teknik çağın kaçınılmaz bir gereğidir. Bir ülkenin yaşam düzeyi ve teknoloji bakımından ne denli iyi olduğu en iyi şekilde, yılda kişi başına tüketilen ortalama yakıt enerjisiyle ölçülür.
Günlük yaşantımızda enerjiden sık sık şöyle söz ederiz: Sabahleyin kalktığımızda kendimizi bir iş yapmak için istekli ve hazır bulursak " enerji dolu " yuz deriz. Fakat bir süre çalıştıktan sonra yoruluruz ve " enerjiyi tükettik " deriz. Rahat bir uyku ve besleyici gıdalar bize iş yapma yeteneğimizi yeniden kazandırır. Günlük yaşantıda bu şekilde kullanılagelen " enerji " kelimesi ile, tanımını yapmaya çalıştığımız teknikteki enerji kavramı arasında çok yakın bir ilişki vardır. Bu, hem kaslara ve hem de makinalara yararlı işler gördüren yakıtlarla enerji arasındaki yakın ilişkiyi gösterir. Şimdilik enerjinin yapılan işlerde temel birşey olduğunu, enerjinin yaratılamayacağını, fakat şekil değiştirebileceğini söyleyelim.
ENERJİ DÖNÜŞÜMÜ
Bir iş, enerjinin bir şekilden başka bir şekle dönüşümü, ya da bir yerden başka bir yere aktarılmasıyla yapılır. Örneğin yakıt enerjisinin treni hızlandıran enerjiye dönüşümü ve kaynayan bir tencerdeki ısının odadaki ısıya aktarılması gibi. O halde yakıtlar enerjiyi kullanılacak bir durumda depo ederler. Belli bir miktar yakıtta belli bir miktar enerji vardır. Enerjinin hiçbir zaman yaratılmadığını veya kaybolmadığını, fakat yalnızca dönüştüğünü ( bir şekilden başka bir şekle ya da bir yerden başka bir yere ) daha sonra göreceksiniz. Enerji bir bakıma para gibidir, birisi birşey satın aldığı zaman para el değiştirir.
Şimdi bir miktar benzinde depo edilen enerji ile neler yapabileceğimizi görelim. Benzini bir otomobilin motorunda yakarak ve buradan otomobilin tekerleklerine aktarılan enerjiyi kullanarak otomobili bir eğik düzlem üzerinde yukarı çıkarabiliriz. Bu kez benzini bir buhar kazanında yakabiliriz. Burada enerji buharın ısısına dönüşür. Buhar genişleyerek bir pistonun hareket ettirebilir; piston da bir yükü kaldırabilir. Bu yük bir makaradan geçen bir ip yardımıyla arabanın dingiline bağlanır ve yük aşağı bırakılırsa, araba eğik düzlem üzerinde yukarı çıkabilir. Burada da yine bir enerji aktarılması olmuştur. Öncekine göre daha dolambaçlı bir yol da olsa, enerjinin hiç değilse bir kısmı arabayı yukarı çıkarmakta kullanılmıştır. Şimdi bu işler arasında oluşan enerji dönüşümlerini ölçmek için bazı ayrıntılı süreçler bulmalıyız. Bu şekildeki enerji dönüşümlerini bulduğumuzda göreceğiz ki, enerji ne yaratılabilir ve ne de kaybolur; o halde enerji korunumludur.
İŞ: ENERJİ DÖNÜŞÜMÜNÜN BİR ÖLÇÜSÜ
Yakıt kullanarak yapılan iş sırasında enerji dönüşümü olduğu zaman, bu enerji dönüşümü ( yapılan işin miktarını ) ya ( a ) yapılan iş birimi sayısı ( kesilen çimlerin sayısı veya ısıtılan evlerin sayısı ) ile, ya da ( b ) kullanılan yakıt miktarı ( litre olarak kullanılan benzin miktarı ) ile ölçebiliriz.
Yukarıda anlattığımız işlerde üzerlerine bir kuvvet uygulandığında cisimler hareket ediyordu. Bu enerji dönüşümlerinde bir iş yapılmıştır denir. Şimdi iş kavramını enerji dönüşümünün doğru ve inanılır bir ölçüsü olarak geliştireceğiz. Şimdilik iş kelimesini yaptığımız şeylerin veya kullanılan yakıtın bir ölçüsü anlamında kullanacağız. Enerji dönüşümünün bu iki ayrı ölçüsünün birbiri ile uyuştuğuna dikkat ediniz. Her hangi bir işi incelerseniz, yapılan birim işlerin sayısının harcanan yakıt miktarı ile orantılı olduğunu görürsünüz. Birbirinin aynı olan iki işi yapabilmek için gerekli yakıt bu işlerden birini yapabilmek için gerekli olanın iki katı kadardır.
Şimdi kuvvet ve hareket kavramlarını birleştirerek, enerji dönüşümünün bir ölçüsü olarak kullanılabilecek bir kavram bulmaya çalışalım. Öyle bir kavram aramalıyız ki, bu hem yapılan iş birimleri sayısı ve hem de harcanan yakıt miktarı ile orantılı olsun. Bu kavrama " iş " adını vereceğiz.
Bir benzin motorunun teleferik arabalarını bir dağın tepesine çektiğini düşünelim. Bu iş için gerekli yakıt kablonun uyguladığı kuvvete ne şekilde bağlıdır? Arabalardan birini dağın tepesine çıkarmak için, belli bir kuvvetle kabloyu belli bir uzaklığa çekerek, belli bir miktar yakıt harcamalıdır. İkinci bir arabayı aynı yere çıkarmak için yine aynı miktar yakıt harcanır. İki arabayı birlikte yukara çıkarmak için gerekli yakıt, birini çıkarmak için gerekli olanın iki katıdır; çünkü bu durumda birbirine eşit iki iş birlikte yapılmaktadır. Ayrıca iki arabayı aynı anda yukarı çıkarabilmek için birbirinin aynı olan motorlarla çekilen iki farklı kablo kullanabiliriz. Bu şekilde arabalar, birisi için gerekli yakıtın iki katı yakıt harcanarak ve iki katı kuvvet uygulanarak tepeye çıkarlar. İki kabloyu yan yana bağlasaydık, ne harcanan yakıt ve ne de yapılan iş değişirdi. Hatta iki kablo yerine iki arabayı taşıyan bir kablo ve iki motor yerine de bir motor kullanabilirdik - bu motor yakıtı daha çabuk harcardı -. İki arabayı tepeye çıkarmak için harcanan yakıt birisini çıkarmak için harcananın yine iki katı olacaktır. Görülüyor ki, uygulanan kuvvet iki katına çıktığında harcanan yakıt da iki katına çıkar. Böylece enerji dönüşümünün bir ölçüsü olarak kullanacağımız işin uygulanan kuvvetle orantılı olduğunu söyleriz.
Şimdi arabayı tepeye çıkarmak için gerekli yakıtın, arabanın aldığı yola nasıl bağlı olduğunu arayalım. Arabayı önce yolun yarısına ve sonra da tepeye çıkaralım. Motor, arabayı yolun ikinci yarısı boyunca tepeye çıkarmak için birinci yarıda uyguladığı kuvveti uygular ve aynı uzunlukta kablo çeker. Aynı iş iki kez yapılmıştır. Yani bir arabayı tepeye çıkarmak için harcanan yakıt, aynı arabayı yolun yarısına çıkarmak için harcanan yakıtın iki katıdır. O halde yakıt iki kata arttırıldığında, alınan yol da iki kat artar. Böylece iş alınan yolla da orantılıdır, deriz.
Bu sonuçları birleştirdiğimizde işi
kuvvet x yol
olarak tanımlarız. Buna benzer daha birçok örnek inceleyerek diyebiliriz ki, " iş " in bu şekilde yapılan tanımı enerji dönüşümü için iyi bir ölçüdür.
İş birimi, kuvvet birimi çarpı uzunluk birimi, yani bir newton çarpı bir metre veya yalnızca bir newton-metre olmalıdır. Bu birime, enerjinin korunumlu olduğunu doğrulamak için enerji dönüşümü üzerine ilk ciddi deneyleri yapan İngiliz fizikçisi James P. Joule ( 1818-1889 ) ün adını anarak bir joule deriz. Eğer bir cismi 2 newton'luk bir kuvvetle doğrultusunda 10 metre çekersek 20 joule'lük iş yaparız.
Harcanan yakıt enerjisi bakımından bir teleferik arabasını tepeye yavaş veya hızlı çıkarmak arasında bir fark yoktur. Yani, zamanın yapılan işle bir ilgisi yoktur. Hatta bir işin yarısını bugün ve diğer yarısını yarın yapabiliriz, harcanan yakıt miktarı yine aynıdır.
Eğer arabayı frenler ve motoru durdurursak, araba durur ve bundan sonra yakıttan arabaya enerji aktarımı olmaz. Arabayı olduğu yerde tutmak için üzerine bir kuvvet uygulandığı halde yol almadığı için iş yapılmaz.
Bununla birlikte, faydalı bir iş yapılmadan da yakıttan enerji alınabilir. Kabloyu motordan ayırır ve motoru çalıştırırsak, araba tepeye çekilmediği halde, motor yakıt harcar. Bu durmda yakıt, pistonları sürtünme kuvvetlerine zıt yönde kuvvetlerle hareket ettirecek enerjiyi sağlar. Bu enerji yalnızca motoru ısıtır. Enerji başka şekillere dönüşmüş ve başka yerlere aktarılmıştır, fakat arabayı yukarı çıkarmak için kullanılmamıştır. Hatta motor, teleferik arabasını çekse bile, enerjinin bir kısmı bu şekilde harcanır. Gerçekte yanan yakıt miktarı hareketten harekete değişebilir - örneğin bir hareket sırasında motorlar iyi yağlanmamışsa daha çok yakıt harcanır. Tüm bu kayıplar göz önüne alınırsa, arabanın tepeye her çıkışında aynı miktar yakıt kullanıldığını görürüz.
İŞİN TANIMI ÜSTÜNE DAHA FAZLA BİLGİ
Üzerine uygulanan kuvvet doğrultusunda hareket eden bir arabayı çeken kablo örneğinde işi kuvvet çarpı yol olarak tanımladık. Kuvvet hareket doğrultusunda olduğunda, bir enerji dönüşümü olur; yani bir iş yapılır. Öte yandan, bir cisim üzerine hareket doğrultusuna dik bir kuvvet uygulandığı zaman, herhangi bir enerji dönüşümü olmaz. Örneğin, sabit bir direğin tepesine bağlı bir ipin ucuna dönen bir taşı ele alalım. Taş hızını değiştirmeden döner durur. Aynı noktaya her kez aaynı hızla gelir ve enerjisi hep aynı kalır. İpin öteki ucunda direk hareketsizdir. Direk yakıt yakmadığı için ipe enerji aktarmaz. O halde ip ne enerji alır ne de verir; yani bir iş yapılmaz.
Hareket doğrultusu ile belli bir açı yapan herhangi bir kuvvet uygulansaydı ne olurdu? Bu durumda, kuvvetin hareket doğrultusunda bir bileşeni olacaktır ve bu bileşen taşı hızlandıracaktır. Taş, bundan sonra daha hızlı hareket ettiği için, duruncaya değin bir şeyi çekerek daha çok iş yapar. Bu nedenle taş daha fazla enerjiye sahiptir. Kuvvetin hareket doğrultusundaki bileşeni taş üzerine bir iş yapmış ve taşa hareket enerjisi aktarmıştır.
Kısaca, kuvvetin harekete dik doğrultusundaki bileşeni hiçbir iş yapmaz. Bir cisim üzerine yapılan iş, kuvvetin hareket doğrultusundaki bileşeni ile alınan yolun çarpımına eşittir.
KİNETİK ENERJİ
Eşit miktarlardaki yakıtların eşit miktarlarda enerji sağlanması düşüncesine uymak için işi, yalnızca kuvvet ve alınan yol cinsinden tanımlamıştık. Acaba işin bu tanımı hareket halinde olan bir cismin ne kadar enerjiye sahip olduğunu bulmamıza yardım eder mi? İşin bu şekilde yapılan tanımının değeri bu tip sorulara vereceği cevaba bağlıdır.
www.ekolhoca.gen.tr Sürtünmesiz bir masa üzerinde bir cisme bir kuvvet uygulandığını düşünelim. Cisim harekete geçer ve hızlanır. Kuvvet etki ettiği sürece cisme enerji aktararak bir iş yaparız. İşi, kuvvet etkisi altında cismin hareket ettiği yolu ölçerek buluruz. Bu iş cisme aktarılan enerjidir ve cismin kuvvet enerjisini ifade eder. Bu enerji kinetik enerji adını alır. Kinetik enerjiyi, cismin v hızını kullanarak, cismin hareketi cinsinden ifade etmek istiyoruz. Bunun için cismin m kütlesini de kullanacağımızı, fakat bunun dışında bir şeye ihtiyacımız olmadığını göreceğiz.
Cismi, durgun halinden başlayarak, bir F kuvveti ile x uzaklığına çekelim. O halde aktarılan enerji Fx dir. Cisim durgun halden harekete başladığı için ilk hareket enerjisi sıfırdır. Dolayısıyla, son hareket enerjisi aktarılan enerji kadardır. Bu aktarılan Fx enerjisinin m ve v cinsinden ifade ederiz.
F = m.a
olduğu için
Fx = m.ax
olur. F sabit olduğundan a da sabittir; ve zamansız hız formülünden.
v2 = 2ax
dir. Buradan da,
ax = v2 / 2
Fx = m.ax = mv2 /2
bulunur. Görülüyor ki, m kütlesini durgun halden harekete geçirmek için yapılan W= Fx işi mv2/2 cismi harekete geçirmek için ona aktarılan enerjidir. Buna cismin E kinetik enerjisi adını vereceğiz.
Ek = mv2/2
Kinetik enerjinin, yalnızca kütle ve kütlenin hareketi cinsinden ifade edildiğine dikkat ediniz. Bu bağıntıda, ne cisme bu enerjiyi kazandıran kuvvete ne de cismin aldığı yola rastlanır. Bu nedenle kinetik enerji, enerjinin cisme nasıl aktarıldığına bağlı değildir. Eğer cismin kütlesini biliyorsak, hızını gözleyerek kinetik enerjinin tanımı, cismin geçmişteki durumuna göre yapılmıştır. Cismin aynı hareket durumları için m.v2 /2 aynıdır; yani cismin kinetik enerjisi aynıdır.
Hareketsiz bir cismi harekete geçirip ona belli bir m.v2 / 2 büyüklüğünde kinetik enerji vermek için yapılan işin hep aynı olduğunu görürüz. Yolu yarıya indirerek kuvveti iki katına çıkarırız; aynı iş için kuvvet yeni bir değer almış olsun. Cisim şimdi başka bir sabit a' ivmesi ile hareket etmektedir. Cismin bir Δ x yolu sonundaki hızı
v2 = v12 + 2a' Δ x dir.
Bu eşitliğin her iki yanını m/2 ile çarparsak
mv/2 = mv12/2 + ma Δ x
bulunur ki, bu da cismin son kinetik enerjisidir. ma' yeni F' kuvvetine eşit olduğundan
ma' Δ x = F' Δ x yazılır.
Bir m kütlesi bir v hızı ile hareket ediyorsa, enerjisi mv2 / 2 dir. Cisme bu miktarda bir enerji vermeliyiz ki, hızı sıfırdan v ye ulaşsın. Eğer bir cisme etki eden kuvvet onu yavaşlatıyorsa, cismin kinetik enerjisi azalır. Cismin kinetik enerjisinin bir kısmı, cisme yavaşlatıcı kuvveti uygulayan sistemin enerjisine aktarılır. Bir F kuvveti cismi yavaşlatırken yapılan F Δ x işi, yavaşlama sırasında cisimden alınan enerjinin ölçüsüdür. Bu nedenle kinetik enerjisi mv2 / 2 olan bir cisim, nasıl yavaşlarsa yavaşlasın, durmadan önce bu enerjiye eşit büyüklükte bir iş yapar.
Özet olarak, bir cisme hareket yönünde uygulanan bir kuvvet cismin kinetik enerjisini arttırır. Yapılan iş cismin kinetik enerjisine dışarıdan aktarılan enerjinin biir ölçüsüdür. Kuvvet harekete zıt yönde olduğunda enerji zıt yönde aktarılır ve yapılan iş cismin kinetik enerjisinden dışarıya aktarılan enerjinin bir ölçüsüdür. v hızı ile hareket eden m kütlesinin kinetik enerjisi onun hareketi cinsinden mv2 / 2 dir.
POTANSİYEL ENERJİ
Son bölümde tüm dikkatimizi hareketli bir kütleden başka bir kütleye kinetik enerji aktarılması üzerine toplamıştık. Etkileşme kuvvetinin yalnızca kütleler arası uzaklığa bağlı olduğu durumlarda, tam çarpışmalarda çarpışan kütlelerden birinin kaybettiği enerjinin ötekinin kazandığı enerjiye eşit olduğunu gördük. Sonra momentum korunumu yasalarını kullanarak merkezsel çarpışmada çarpışan kütlelerin çarpışmadan sonraki hızlarını kütleleri ve ilk hızları cinsinden hesaplayabilmiştik. ( Tüm üniteler bölümünde ayrıntılı olarak işlenmiştir. )
Bu uygulamada, momentumun korunumlu olduğunu gösteren - ΔP1 = ΔP2 ( vektörel ) eşitliği ile -ΔEk1 = ΔEk2 eşitliği arasında dikkati çekecek derecede bir benzerliğin olduğunu görmüştük; bunun yanında bu iki eşitlik arasında çok önemli bir fark vardır. Herhangi bir zaman aralığında momentum değişimleri birbirine eşit ve zıt yönlüdür; bu nedenle tüm etkileşme süresinceher an için momentum korunur. Oysa, çarpışma esnek olsa bile çarpışmanın her basamağında toplam kinetik enerji aynı değildir. Kinetik enerji yalnızca etkileşmenin sonunda ilk değerini alır. Çarpışma arasında, kinetik enerji önce azalır, sonra artar. Ara basamaklarda kinetik enerjinin bir kısmı kaybolur.
Bu, kinetik enerji kaybı ne olmuştur? Bu kayıp enerji etkileşmenin bitiminde geri geldiğine göre, etkileşen sistem içinde bu enerji herhangi bir şekilde depo edilmelidir. Depo edilen bu enerjiye sistemin potansiyel enerjisi adını vereceğiz.
YAY TAMPON
İşte size, depo edilmiş bir enerji için örnek. Bir m kütlesinin sürtünmesiz bir düzlem üzerinde sabit bir hızla kaydığını varsayınız. Bu kütle hareket edemeyecek derecede büyük olan bir cisme bağlı bir yaya çarpsın. Hareketli kütle yaya çarptığında yayı sıkıştırır. Yay m kütlesi üzerine bir kuvvet uygulayarak onu yavaşlatır. Hareketli kütlenin kinetik enerjisi, hızı sıfır oluncaya dek azalır. Bu durumda hareketli kütlenin kinetik enerji kaybolur ve yay maksimum bir sıkışmaya uğrar. Tüm kinetik enerji potansiyel enerji olarak depo edilir. Bundan sonra m kütlesi ters yönde harekete başlar. Sonunda kütle, ilk hızına ve ilk enerjisine ulaşmış olarak, yayı terkeder. m kütlesi yayın sıkışması sırasında kaybettiği enerjiyi yeniden kazanmış oldu. Sıkışmanın herhangi bir ara halinde enerjinin bir kısmı kinetik ve bir kısmı da potansiyel enerji şeklinde gözükür.
Yayın sıkışmasının fonksiyonu olarak yapılan kuvvet ölçüleri bu düşüncemizi doğrular. Uygulanan bu kuvvet yayın daha önceki durumlarına bağlı değildir. Yayı doğrudan belli bir uzunlukta sıkıştırırsak veya önce daha fazla sıkıştırıp sonra aynı sıkışma boyunun alması için gevşetsek, her iki halde de aynı sıkışma değeri için kuvvet aynıdır. Bundan başka uygulanan kuvvet, kütlenin hızına da bağlı değildir.
Öte yandan, esnekliği iyi olmayan bir yay da ( örneğin bakır telden yapılmış bir yay ) durum daha başkadır. Yayı sıkıştırırken uygulanan kuvvet, gevşerkenki kuvvetten farklıdır. Böyle bir yaya çarpan hareketli bir kütle geldiği hızdan daha küçük bir hızla geri sıçrar. Cam macunu topu gibi bakır yay da esnek değildir, hem sıkışma ve hem de gevşeme durumunda biraz ısınır.
Bir kütle bir yaya çarptığı zaman onu sıkıştırır ve enerjisinin birazını kaybeder. Kütlenin kinetik enerjisinden, sıkışan yaya potansiyel enerji alarak, aktarılan enerji, kütlenin hareketi sırasında yapılan işi ile ölçülür. Bu iş, kuvvet - sıkışma eğrisinin altında kalan ve sıfırdan ( yayın normal durumundan ) bir x uzaklığına değin ( yayın ucunun hareket ettiği nokta ) olan alanla verilir. Bir tek kuvvet - sıkışma eğrisine sahip esnek bir yayla uğraştığımızda, aynı sıkışma değerleri elde edildiği zaman bu iş hep aynı değerdedir. Bu nedenle hareketli kütlenin kinetik enerji kaybı da hep aynıdır. Kayıp enerjinin büyüklüğü yönünden kütlenin ilk kinetik enerjisi önemli değildir. Eğer m kütlesi daha büyük bir kinetik enerji ile harekete başlarsa, x' den geçerken de daha büyük kinetik enerjiye sahip olacaktır. Kinetik enerjideki bu kayıp, yani yayı sıkıştırmak için yapılan bu iş yayda depo edilen potansiyel enerjidir.
Burada hareketli kütlenin veya bizim kendimizin yayı sıkıştırması önemli değildir. Eğer bir yayı elle x kadar sıkıştırır, önüne bir kütle koyar ve serbest bırakırsak yay kütleyi elle yaptığımız işe eşit bir kinetik enerji ile fırlatır. Yayın potansiyel enerjisi yine kuvvet-sıkışma eğrisinin altında kalan alanla verilir ve bu potansiyel enerjisinin bir özelliği olup, hareketli kütleye bağlı değildir.
Eğer kuvvet-sıkışma eğrisi yeter derecede basit ise, U potansiyel enerjisini x'in fonksiyonu olarak verebilecek bir bağıntı bulabiliriz. Eğer kuvvet sıkışma ile orantılı, yani F = kx, ise eğri altında kalan alan tabanı x ve yüksekliği kx olan bir üçgenin alanıdır. O halde potansiyel enerji
U = 1/2 ( yükseklik ) ( taban )
= 1/2 ( kx )x = 1/2 kx2
olur. Bu bağıntı, geri çağırıcı kuvvetinin lineer olduğu bilinen bir yayın potansiyel enerjisidir.
Kütlenin yaydan ayrıldığı andaki kinetik enerjisi yayın gevşemeden önceki potansiyel enerjisine eşittir, çünkü kütle uzaklaşırken yayın bütün potansiyel enerjisi kinetik enerjiye dönüşür. Ara hallerde kütlenin kazandığı kinetik enerji, yayın kaybettiği potansiyel enerjiye eşit olur ve toplam enerji sabit kalır; yani
1/2 mv2 + U = E
dir. Sabit E enerjisi, v = 0 iken yayın maksimum sıkışmasına karşı gelen potansiyel enerjisidir. Bu, aynı zamanda U = 0 iken, kütlenin yaydan ayrıldığı andaki, maksimum kinetik enerjisi, 1/2 mv20 dir. E'ye yayın ve kütlenin toplam enerjisi deriz.
Bir m kütlesini bir yayın ucuna iliştirip sistemi harekete geçirirsek, sistem ileri - geri salınım hareketi yapar.. Böyle bir harekette
1/2 uv2 + U = E
bağıntısı, hareketin herhangi bir basamağında U potansiyel enerjisinden v'yi bulmamıza yarar. Örneğin, yay lineer bir geri çağırıcı kuvvet uygulandığında, kütle basit salınım hareketi yapar. Ayrıca böyle bir kuvvet için
U = 1/2 kx2
olduğunu biliyoruz. Öyleyse basit salınımın hareketi için
1/2 mv2 + 1/ kx2 = E
yazabiliriz.
YERYÜZÜNE YAKIN NOKTALARDA YERÇEKİMİ POTANSİYEL ENERJİSİ
Şimdi yer ile öteki cisimler arasındaki cisimler arasındaki çekimle ilgili potansiyel enerjiyi inceleyelim. Yer ile kütlesi m olan bir cismin bir sistem oluşturduğunu varsayalım. Yerin M kütlesi cismin m kütlesi yanında çok büyük olsun. Eğer m kütlesini yeryüzünden yukarıda bir yerden serbest bırakırsak, kütle yere doğru düşer. Aynı anda yer de cisme doğru ( çok az ) yükselir. Sistemin potansiyel enerjisi azalırken her iki kütle de kinetik enerji kazanır.
Herhangi bir anda cismin ve yerin momentumları eşit ve zıt yönlüdür. O halde cismin ve yerin v ve V hızları
mv = MV veya V = m/M v
bağıntısını sağlarlar. Bu bağıntıdan cismin kinetik enerjisinin yerin kinetik enerjisine oranını bulabiliriz. Yerin kinetik enerjisi, EKm için
EKm = 1/2 MV2 = 1/2 m ( m/M V)2 = m /M (1/2) mv2
yazabiliriz. ( 1/2 mv2 ) m kütlesinin kinetik enerjisi, EKm' olduğu için, yerin kinetik enerjisinin düşmekte olan küçük bir m kütlesinin kinetik enerjisine oranı
www.ekolhoca.gen.tr EKe / EKm = m /M
ile verilir. Eğer m, M yanında çok küçük ise yerin kinetik enerjisi kütlenin kinetik enerjisinin yanında çok küçük kalır. m kütlesi yere doğru düşerken cismin toplam potansiyel enerjisi m kütlesine kinetik enerji olarak aktarılır.
Şimdi m kütlesinin yerin yarıçapı yanında çok küçük olan bir yol boyunca hareket ettiğini varsayalım. Bu durum bir laboratuvarda yapılan deneye iyi bir örnektir. Yer ile cisim arasındaki çekim kuvveti mg değerini alır ve doğrultusuda düşey olarak aşağı doğrudur.
Bu kuvvetin etkisi altında düşen cisim sabit g ivmesi ile hızlanır. Cisim aşağı doğru bir d yolu aldığında hızı bir v değerinden başka bir v' değerine ulaşır ve
v'2 - v2 = 2gd
yazılır. Kinetik enerjideki değişme
E'Km - EKm = m/2 ( v'2 - v2 ) = mgd
olur. Bu denklemin sol tarafı kinetik enerjideki değişmeyi gösterirken sağ taraf kuvvet ile yolun çarpımından oluşan iş ifadesidir. Bu iş, m kütlesi ile yerin merkezi arasındaki uzaklık, d kadar azaldığında potansiyel enerjisinin kinetik enerjiye dönüşümünün bir ölçüsüdür. Yeryüzeyinde bir h yüksekliğinden başka bir h' yüksekliğine düşen bir cisim d = h - h' yolunu alır ve potansiyel enerjisindeki değişme
U' - U = - mgd = - mg ( h - h' )
= mg ( h'-h )
olur. ( - mgd'deki eksi işareti potansiyel enerjideki kaybı buna karşılık kinetik enerjideki kazancı gösterir ). Bu sonuçtan, herhangi bir h yüksekliğindeki potansiyel enerjinin
U = mgh
olduğunu çıkarırız.
Gerçekte bu son ifade potansiyel enerjideki değişmeyi gösteren doğru ifadeyi verir, eğer dersek
U = mgh
U' = mgh'
U' - U = mg ( h' - h )
olur ki, bu da potansiyel enerjideki gerçek değişmedir. Bununla birlikte potansiyel enerjiye herhangi bir sabit U0 değerini katsak bile potansiyel enerjideki değişme aynı kalır.
